Question

20. 已知函数y=kx与y=x²+2（x≥0）的图象相交于不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.l₁，l₂分别是y=x²+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l₁，l₂与x轴的交点.

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设t为点M的横坐标，当x₁＜x₂时，写出t以x₁为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（Ⅲ）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）.

Answer 1

解：（Ⅰ）由方程消y得x²-kx+2=0，                 ①

依题意，该方程有两个正实根，

故解得k＞2.

（Ⅱ）由f′（x）=2x，求得切线l₁的方程为y=2x₁（x-x₁）+y₁.

由y₁=+2，并令y=0，得t=.

x₁，x₂是方程①的两实根，且x₁＜x₂，故x₁=，k＞2，

x₁是关于k的减函数，所以x₁的取值范围是（0，）.

t是关于x₁的增函数，定义域为（0，），所以值域为（-∞，0）.

（Ⅲ）当x₁＜x₂时，由（Ⅱ）可知

| OM |=| t |= -，

类似可得| ON |=，

| OM | - | ON |= -.

由①可知   x₁x₂=2，

从而| OM | - | ON |=0.

当x₂＜x₁时，有相同的结果| OM | - | ON |=0.

所以| OM | = | ON |.