Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，短轴一个端点到上焦点的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-2，0）作直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线m是过点(-

4

17

，0)，且以

a

=（0，1）为方向向量的直线，设N是直线m上一动点，满足

ON

=

OA

+

OB

（O为坐标原点）．问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得

c a = 3 2 a2=4

，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由已知可得直线m：x=-

4

17

，设N(-

4

17

，t)，设直线l：y=k（x+2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此能够导出存在y=±

1

2

(x+2)使得四边形OANB为矩形．

解答：解：（Ⅰ）由已知得

c a = 3 2 a2=b2+c2=22=4

?

a=2 c= 3 b=1

  ∴椭圆的标准方程为

y2

4

+x2=1；
（Ⅱ）由已知可得直线m：x=-

4

17

，设N(-

4

17

，t)
设直线l：y=k（x+2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

y=k(x+2) y2 4 +x2=1

?(4+k2)x2+4k2x+4k2-4=0，△＞0?-

2 2

3

＜k＜

2 2

3

x1+x2=-

4k2

4+k2

=-

4

17

?k=±

1

2

此时

OA

•

OB

=0，所以存在y=±

1

2

(x+2)使得四边形OANB为矩形．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意提高运算能力和解题技巧．