题目内容
【题目】四棱锥中,平面,,,,,.
(1)求证: 平面平面;
(2)为棱上异于的点,且,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)根据相似三角形,证得,又由平面,得到 ,利用线面垂直的判定定理,证得平面,再由面面垂直的判定定理,即可得到平面平面.
(2)以为原点,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,设,,利用以,求得,得到,再求得平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.
(1)证明:在与中,因为, ,
所以,,即,所以.
因为,所以,所以.
因为平面,平面,所以 ,
又,所以平面,
又平面, 所以平面平面.
(2)过作,因为平面,所以平面,即两两相垂直,以为原点,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,
因为,,,
所以,,,,,
,,,
设,.则,
.
因为,所以,即,
解得,或.因为,所以.
所以,即.
设为平面的一个法向量,则,
所以取,
设直线与平面所成角为,
,
所以直线与平面所成角的正弦值.
【题目】在信息时代的今天,随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方法,某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了100人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表:(注:年龄单位:岁)
年龄 | ||||||
频数 | 10 | 30 | 30 | 20 | 5 | 5 |
赞成人数 | 9 | 25 | 24 | 9 | 2 | 1 |
(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面的列联表,并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”?
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(2)若从年龄在,调查的人中各随机选取1人进行追踪调查,求选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为1人的概率.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中.