题目内容
设
是定义在
上的函数，用分点
将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数
，使得和式
（
）恒成立，则称为上的有界变差函数.
（1）函数
在
上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数是上的单调递减函数，证明：为上的有界变差函数；
（3）若定义在上的函数满足：存在常数
，使得对于任意的
、
时，
.证明：为上的有界变差函数.
解：（1）函数在上是增函数，对任意划分，
，
取常数
，则和式（）恒成立，
所以函数在上是有界变差函数. …………4分
（2）函数是上的单调递减函数，
且对任意划分，
，
一定存在一个常数，使
，
故为上的有界变差函数. …………9分
（3）
对任意划分，
，
取常数
，
由有界变差函数定义知为上的有界变差函数. …………14分
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是定义在
上的函数，若
，且对任意
，满足
，
，则
=（ ）
是定义在
上的函数，若存在
，使得
上单调递增，在
上单调递减，则称
，若
，则
为含峰区间；若
，则
为含峰区间；
，证明：存在
，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于
；
是定义在
上的函数，且
，当
时，
，那么当
时，
在给定区间M上存在正数t，使得对于任意
，有
，且
，则称
上的3级类增函数
上的1级类增函数
上的
级类增函数，则实数a的最小值为2
是定义
在上的函数，且满足：1.对任意
，恒有
；2.对任意
，恒有
；3. 对任意
，
，若函数
上的t级类增函数，则实数t的取值范围为
。
是定义在
上的函数，且对任意
，当
时，都有
；
时，比较
的大小；
；
且
，求
的取值范围。