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精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
)一个周期的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若f(α)+f(α-
π
3
)=
24
25
,且α为△ABC的一个内角,求sinα+cosα的值.
分析:(1)根据函数的图象,求出A、T,求出ω,函数x=-
π
6
时,y=0,结合-
π
2
<φ<
π
2
求出φ,然后求函数f(x)的表达式;
(2)利用f(α)+f(α-
π
3
)=
24
25
,化简出(sinα+cosα)2,2sinαcosα=
24
25
>0且α为△ABC的一个内角,确定sinα>0,cosα>0,求sinα+cosα的值.
解答:解:(1)从图知,函数的最大值为1,则A=1.
函数f(x)的周期为T=4×(
π
12
+
π
6
)=π.
而T=
ω
,则ω=2.又x=-
π
6
时,y=0,
∴sin[2×(-
π
6
)+φ]=0.
而-
π
2
<φ<
π
2
,则φ=
π
3

∴函数f(x)的表达式为f(x)=sin(2x+
π
3
).

(2)由f(α)+f(α-
π
3
)=
24
25
,得
sin(2α+
π
3
)+sin(2α-
π
3
)=
24
25

即2sin2αcos
π
3
=
24
25
,∴2sinαcosα=
24
25

∴(sinα+cosα)2=1+
24
25
=
49
25

∵2sinαcosα=
24
25
>0,α为△ABC的内角,
∴sinα>0,cosα>0,即sinα+cosα>0.∴sinα+cosα=
7
5
点评:本题是基础题,考查函数解析式的求法,根据三角函数式,确定函数的取值范围,是解题的难点,考查学生视图能力,计算能力.
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