Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)，若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式．

Answer 1

解析　∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，

设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，因此f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax²－(2＋4a)x＋3a.                                                                              ①

由方程f(x)＋6a＝0，得ax²－(2＋4a)x＋9a＝0.                          ②

∵方程②有两个相等的实根，

∴Δ＝[－(2＋4a)]²－4a×9a＝0.

即5a²－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.

由于a<0，∴a＝－代入①得f(x)的解析式．

即f(x)＝－x²－x－.