题目内容

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）的图象的最高点D的坐标为(2，
2
)，由最高点运动到相邻的最低点F时，曲线与x轴相交于点E（6，0）．
（1）求A、ω、φ的值；
（2）求函数y=g（x），使其图象与y=f（x）图象关于直线x=8对称．
分析：（1）利用函数的最高点求出A，求出函数的周期，即可求ω，利用最高点结合φ的范围求出它的值；
（2）通过函数y=g（x），使其图象与y=f（x）图象关于直线x=8对称，利用对称点轨迹方程的求法求解即可．
解答：（本小题满分10分）
解：（1）最高点D（2，
2
） A=
2

由题意
T
4
=6-2=4，T=16，T=
2π
ω
，∴ω=
π
8
∴f（x）=
2
sin（
π
8
+φ），
∵过最高点D（2，
2
），∴
π
8
×2+φ=2kπ+
π
2
，φ=2kπ+
π
4

综上，A=
2
，ω=
π
8
，φ=
π
4

（2）设P（x，y）为y=g（x）上任一点，Q（xo，yo）是f（x）上关于x=8对称点．
y=yo，
x+x0
2
=8   y=yo，xo=16-x  又yo=
2
sin(
π
8
x0+
π
4
)
y=
2
sin[
π
8
×(16-x)+
π
4
]=
2
sin(2π-
π
8
x+
π
4
)=
2
sin(-
π
8
x+
π
4
)
点评：本题考查三角函数的参数的含义，函数解析式的求法，考查转化思想与计算能力．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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