题目内容
等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,令bn=anan+1,数列{1 |
bn |
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求证:Tn<
1 |
3 |
分析:(1)∵等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,故不难构造关于首项和公差的方程组,解方程组求出基本项(首项与公差)不难得到数列的通项公式,
(2)由(1)的结论,及bn=anan+1,可以给数列{
}的通项公式及前n项和为Tn的表达式,再利用不等式的方法易证.
(2)由(1)的结论,及bn=anan+1,可以给数列{
1 |
bn |
解答:解:(1)设数列{an}的公差为d,
∵a3=7,a1+a2+a3=12
∴
解得
∴数列{an}的通项公式为:an=3n-2(n∈N*)
(2)∵bn=anan-1,
∴bn=(3n-2)(3n+1)
∴
=
(
-
)
∴数列{
}的前n项和
Tn=
[1-
+
-
+
-
++
-
+
-
]
=
(1-
)
<
∵a3=7,a1+a2+a3=12
∴
|
解得
|
∴数列{an}的通项公式为:an=3n-2(n∈N*)
(2)∵bn=anan-1,
∴bn=(3n-2)(3n+1)
∴
1 |
bn |
1 |
3 |
1 |
3n-2 |
1 |
3n+1 |
∴数列{
1 |
bn |
Tn=
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
7 |
1 |
7 |
1 |
11 |
1 |
3n-5 |
1 |
3n-2 |
1 |
3n-2 |
1 |
3n+1 |
=
1 |
3 |
1 |
3n+1 |
<
1 |
3 |
点评:方程思想是解决数列问题的基本思想,通过公差列方程(组)来求解基本量是数列中最基本的方法,同时在解题中也要注意数列性质的应用.如果数列的通项公式为
的形式时,常使用拆项法将数列的一项
分解为K[
-
]的形式,利用相邻项之间的正负项可以抵消来简化数列的前n项和表达式.
1 |
f(n)•f(n+1) |
1 |
f(n)•f(n+1) |
1 |
f(n) |
1 |
f(n+1) |

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