题目内容

等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,令bn=anan+1,数列{
1
bn
}
的前n项和为Tn
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求证:Tn
1
3
分析:(1)∵等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,故不难构造关于首项和公差的方程组,解方程组求出基本项(首项与公差)不难得到数列的通项公式,
(2)由(1)的结论,及bn=anan+1,可以给数列{
1
bn
}
的通项公式及前n项和为Tn的表达式,再利用不等式的方法易证.
解答:解:(1)设数列{an}的公差为d,
∵a3=7,a1+a2+a3=12
a1+2d=7
3a1+3d=12

解得
a1=1
d=3

∴数列{an}的通项公式为:an=3n-2(n∈N*
(2)∵bn=anan-1
∴bn=(3n-2)(3n+1)
1
bn
=
1
3
(
1
3n-2
-
1
3n+1
)

∴数列{
1
bn
}
的前n项和
Tn=
1
3
[1-
1
4
+
1
4
-
1
7
+
1
7
-
1
11
++
1
3n-5
-
1
3n-2
+
1
3n-2
-
1
3n+1
]
=
1
3
(1-
1
3n+1
)

1
3
点评:方程思想是解决数列问题的基本思想,通过公差列方程(组)来求解基本量是数列中最基本的方法,同时在解题中也要注意数列性质的应用.如果数列的通项公式为
1
f(n)•f(n+1)
的形式时,常使用拆项法将数列的一项
1
f(n)•f(n+1)
分解为K[
1
f(n)
-
1
f(n+1)
]
的形式,利用相邻项之间的正负项可以抵消来简化数列的前n项和表达式.
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