题目内容
【题目】已知函数
，且曲线
在
处的切线与
平行.
（1）求
的值；
（2）当
时，试探究函数
的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】试题分析: （1）根据曲线
在
处的切线与
平行可得: 
,进而求出a值; （2）①当
时， 
，函数
在
单调递增，根据零点存在性定理可得: 
在
上只有一个零点.②当
时， 
恒成立，构造函数
，求导判断单调性与最值可得
，
又
时， 
，所以
，即
，故函数
在
上没有零点，③当
时， 
，
所以函数
在
上单调递减，根据零点存在性定理可得:函数
在
上有且只有一个零点，综上所述
时，函数
有两个零点.
试题解析:解：（1）依题意
，故
，
故
，解得
.
（2）①当
时， 
，此时
， 
，
函数
在
单调递增，
故函数
在
至多有一个零点，又
，
而且函数
在
上是连续不断的，因此函数
在
上只有一个零点.
②当
时， 
恒成立，证明如下：
设
，则
，所以
在
上单调递增，
所以
时， 
，所以
，
又
时， 
，所以
，即
，
故函数
在
上没有零点，
③当
时， 
，
所以函数
在
上单调递减，故函数
在
至多有一个零点，
又
，而且函数
在
上是连续不断的，
因此，函数
在
上有且只有一个零点，
综上所述
时，函数
有两个零点.
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