Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆x2+y2-4x-2y+

5

2

=0交于A、B两点，AB恰是该圆的直径，且AB斜长为-

1

2

，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析：先根据圆的方程配方得出圆心坐标和直径，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．

解答：解：圆（x-2）²+（y-1）²=

5

2

，直径AB=

10

设椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点（2，1）
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
AB斜率为-

1

2

，∴K_AB=

y 1-y 2

x 1-x 2

=-

1

2

由

y 1 2 a2 + x 1 2 b2 =1 y 2 2 a2 + x 2 2 b2 =1

?

y 1 2 - y 2 2

a2

=-

x 1 2 - x 2 2

b2

?kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

a2

b2

•

2

1

=-

1

2

?a2=4b2
将直线AB的方程y=-

1

2

x+2，代入椭圆方程得：x²+4y²-4b²=0
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=8-2b²，
|AB|=

1+k 2

|x₁-x₂|，∴10=（1+

1

4

）²[4²-4（8-2b²）]
解得：a²=12，b²=3，
故椭圆的方程为：

x2

12

+

y2

3

=1．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．