题目内容

设椭圆 $数学公式$ 的两个焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
（1）设E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，求使得|EF₁|+|EF₂|取最小值时椭圆的方程；
（2）已知N（0，-1）设斜率为k（k≠0）的直线l与条件（1）下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求直线l在y轴上截距的取值范围．

解：（1）由题意，知m+1＞1，即m＞0．
由 $\text{[math]}$
得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0．
由△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，
解得m≥2，或m≤-1（舍去）∴m≥2（3分）
此时 $\text{[math]}$ ．
当且仅当m=2时，|EF₁|+|EF₂|．取得最小值 $\text{[math]}$ ，
此时椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）设直线l的方程为y=kx+t．
由方程组 $\text{[math]}$ ，
消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．∵直线l与椭圆交于不同两点A、B∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
即t²＜1+3k²①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ ，得Q为线段AB的中点，
则 $\text{[math]}$ ．∵ $\text{[math]}$ ，
∴k_AB•k_QN=-1，[来源：学，科，即 $\text{[math]}$ ．
化简得1+3k²=2t．代入①得t²＜2t，解得0＜t＜2．
又由 $\text{[math]}$ ．
所以，直线l在y轴上的截距t的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意知m＞0．由 $\text{[math]}$ ，得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△≥0，得m≥2，或m≤-1（舍去）．此时 $\text{[math]}$ ．由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+t．由方程组 $\text{[math]}$ ，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．由△＞0，知t²＜1+3k²，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，得Q为线段AB的中点，由此能求出截距t的取值范围．
点评：本题考查椭圆方程的求法和截距t的取值范围．解题时要认真审题，利用椭圆性质注意合理地进行等价转化．