Question

已知点F₁，F₂为椭圆的两个焦点，点O为坐标原点，圆O是以F₁，F₂为直径的圆，一条直线与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）设b=f（k），求f（k）的表达式；
（2）若，求直线l的方程；
（3）若，求三角形OAB面积的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用条件求出圆O的方程，再利用圆心到直线的距离等于半径可得b和k满足的关系式；
（2）先把直线l的方程与双曲线方程联立求出A、B两点的坐标与b和k之间的等式，再利用 以及（1）的结论求出b和k进而求得直线l的方程；
（3）用类似于（2）的方法求出之间的关系式，求出弦AB的长，再把△AOB面积整理成关于m的函数；利用函数的单调性求出△AOB面积的取值范围即可．
解答：解：∵c=1且直线与圆O相切∴∵b＞0，∴
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由，消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又
则．
由，∴k²=1，b²=2.，∴
直线l的方程为：y=±x+．
（3）由（2）知：，∴，∴，
由弦长公式得
解得∴．
点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，是对函数，向量，抛物线以及圆的综合考查，由于知识点较多，是道难题．