题目内容
【题目】在等腰梯形
中，
，
，
，
是
的中点，将梯形绕
旋转
，得到梯形
（如图）.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）推导出BC∥平面ADD'，BC'∥平面ADD'，从而平面BCC'∥平面ADD'，由此能证明NC'∥平面ADD'．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AC′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣C'N﹣C的余弦值．
（1）证明：∵BC∥AD，∴BC∥平面ADD'，
同理BC'∥平面ADD'，
又BC∩BC'＝B，∴平面BCC'∥平面ADD'，
∵NC'平面BCC'，∴NC'∥平面ADD'．
（2）解：
，
是
的中点，
，又
四边形
是平行四边形，
，又
，
，四边形是菱形，
，
，即
，又平面
平面
，平面
平面 
，
平面
平面，
平面.
如图建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
，设平面
的法向量为
.
则
即
取
，则
，
，
平面，平面
平面，又
，平面
平面
，
平面，
与
交于点
，则为的中点，
，平面的法向量
.
，
由图形可知二面角
为钝角，所以二面角的余弦值为
.
【题目】物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求.某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：
每周网上买菜次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 | 总计 |
男 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 | 15 | 45 |
女 | 5 | 4 | 6 | 4 | 6 | 30 | 55 |
总计 | 15 | 12 | 13 | 7 | 8 | 45 | 100 |
（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？
（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女“网上买菜达人”的概率.
附公式及表如下：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
