题目内容

在△ABC中，已知 $数学公式$ ．
（1）求证：tanB=3tanA；
（2）若tanC=2，求A的值．

解：（1）因为 $\text{[math]}$ ，所以AB•AC•cosA=3BA•BC•cosB，…（2分）
即AC•cosA=3BC•cosB，由正弦定理知 $\text{[math]}$
从而sinBcosA=3cosBsinA…（4分）
因为A、B∈（0，π），结合上式可得cosA，cosB同号，只能为正，
同除以cosAcosB可得tanB=3tanA…（6分）
（2）因为tanC=2，所以tan[π-（A+B）]=2即tan（A+B）=-2…（8分）
即 $\text{[math]}$ ，由（1）得 $\text{[math]}$
解得tanA=1或 $\text{[math]}$ …（12分）
因为cosA＞0，故tanA=1，所以 $\text{[math]}$ …（13分）
分析：（1）由题意可得AB•AC•cosA=3BA•BC•cosB，即AC•cosA=3BC•cosB，结合正弦定理可得sinBcosA=3cosBsinA，同除以cosAcosB可得答案；（2）由已知可得 $\text{[math]}$ ，代入（1）得 $\text{[math]}$ ，解得tanA=1或 $\text{[math]}$ ，结合cosA＞0，可得答案．
点评：本题考查三角函数的运算，涉及向量的数量积，属中档题．