Question

设m为实数，函数f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，．
（1）若f（1）≥4，求m的取值范围；（2）当m＞0时，求证h（x）在[m，+∞]上是单调递增函数；
（3）若h（x）对于一切x∈[1，2]，不等式h（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=1代入后对m的值进行讨论即可．
（2）先写出函数h（x）的解析式，然后用增函数的定义法证明．
（2）转化为二次函数，从而根据二次函数的单调性解出实数m的范围．
解答：解：（1）f（1）=2+（1-m）|1-m|≥4
当m＞1时，（1-m）（m-1）≥2，无解；
当m≤1时，（1-m）（1-m）≥2，解得m≤1-．
所以m≤1-．
（2）由于m＞0，x≥m．
所以h（x）=3x+-2m．
任取m≤x₁≤x₂，h（x₂）-h（x₁）=（x₂-x₁）（）
x₂-x₁＞0，3x₁x₂-m²＞3m²-m²＞0，x₁x₂＞0
所以h（x₂）-h（x₁）＞0即：h（x）在[m，+∞）为单调递增函数．
（3）、①m＜1时，x∈[1，2]，f（x）=2x²+（x-m）（x-m）=3x²-2mx+m²，
h（x）=恒成立∴f（x）≥x恒成立，
即：g（x）=3x²-（2m+1）x+m²≥0
由于y=g（x）的对称轴为x=＜1
故g（x）在[1，2]为单调递增函数，
故g（1）≥0∴m²-2m+2≥0．
所以m＜1．
②当1≤m≤2时，h（x）=
易证y=x-+m在[1，m]为递增，
由②得y=3x+在[m，2]为递增，
所以，h（1）≥1，即0≤m≤2，
所以1≤m≤2．
③当m＞2时，h（x）=x-+2m（无解）
综上所述m≤2．
点评：本题主要考查函数的单调性证明和应用．属中档题．