Question

设函数f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2(x∈R)．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：?n∈N*，ex-1＞

xn

n!

．

Answer 1

分析：（1）利用导数求函数的单调区间，关键点有二，一是求对导函数，这不难，二是解答不等式f'（x）＞0，得到x的范围，再兼顾函数的定义域，列出当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况表，将能很轻松的解答问题．
（2）在（1）的结论基础上求函数在闭区间上的最值将会有一种水到渠成的感觉，这一步一般稍有基础的学生就能很顺利解答．
（3）本问根据要证明的不等式ex-1＞

xn

n!

．构造出函数gn(x)=ex-1-

xn

n!

，在利用数学归纳法证明出当n∈N^*时有gn(x)=ex-1-

xn

n!

＞0，这还要借助于导数来解答．

解答：解：（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），
令f'（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）．
（2）当x∈[-1，2]时，f(-1)=

1

e2

-

2

3

＜0，
f(2)=4(e-

5

3

)＞0，f(x)_极小值=f(1)=-

1

3

＞f(-1)，f(x)_极大值=f（0）=0．
所以f（x）在[-1，2]上的最小值为

1

e2

-

2

3

．
（3）设gn(x)=ex-1-

xn

n!

，当n=1时，只需证明g₁（x）=e^x-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g₁^′（x）=e^x-1-1＞0，
所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上是增函数，∴g₁（x）＞g₁（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即gk(x)=ex-1-

xk

k!

＞0，
当n=k+1时，
因为gk+1′(x)=ex-1-

(k+1)xk

(k+1)!

=ex-1-

xk

k!

＞0，
所以g_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．
所以gk+1(x)＞gk+1(1)=e0-

1

(k+1)!

=1-

1

(k+1)!

＞0，
即当n=k+1时，不等式成立．
由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，?n∈N*，ex-1＞

xn

n!

．

点评：本题是一道好题，利用导数研究函数的性态是高考常考，重点考查的内容，本题还明确要求利用数学归纳法证明不等式，与本例中具体函数的性质结合紧密，这也是高考考题的新颖设计，在解答本题时要仔细领会其中的深意，将对自己的解题能力水平有很大帮助和提高．