题目内容

设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当n＞m＞0时，（1+n）m＜（1+m）n；
（Ⅲ）证明：当n＞2012，且x1，x2，x3，…，xn∈R+，x1+x2+x3+…+xn=1时，
（1）
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
≥
1
1+n

（2）(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2013
)
1
2012
．
分析：（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0或小于0，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=
ln(1+x)
x
，求导数g'（x）=
x-(1+x)ln(1+x)
x2(1+x)
，由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，从而可得
ln(1+n)
n
＜
ln(1+m)
m
，由此可得结论；
（Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可得
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
≥
1
1+n
；（2）由（1）得：(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2013
)
1
2012
≥(
1
1+n
)
1
n
．又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，从而有（
1
1+n
） 
1
n
＞（
1
2013
） 
1
2012
，结合放缩法即可证得结论．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1），有f'（x）=-ln（x+1），…（2分）
当-1＜x＜0时，f'（x）＞0时，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0时，f（x）单调递减；
所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为[0，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）设g（x）=
ln(1+x)
x
，
则g'（x）=
x-(1+x)ln(1+x)
x2(1+x)
．…（6分）
由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，
而n＞m＞0，所以g（n）＜g（m），得
ln(1+n)
n
＜
ln(1+m)
m
，
得mln（1+n）＜nln（1+m），故（1+n）m＜（1+m）n．…（8分）
（Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可知，(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)(1+n)=(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)[(1+x1)+(1+x2)+(1+x3)+[（1+x1）+…+（1+xn）]×
1
1+n

≥(
x
2
1
1+x1
•
1+x1
+
x
2
2
1+x2
•
1+x2
+…+
x
2
n
1+xn
•
1+xn
)×
1
1+n
=（x1+x2+x3+…+xn）2=
1
1+n
，
所以
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
≥
1
1+n
，…（11分）
（2）由（1）得：(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2013
)
1
2012
≥(
1
1+n
)
1
n
．
又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，
即（1+n） 
1
n
＜（1+2012） 
1
2012
，即（
1
1+n
） 
1
n
＞（
1
2013
） 
1
2012
．
则(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2013
)
1
2012
≥（
1
1+n
） 
1
n
＞（
1
2013
） 
1
2012
．
故(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2013
)
1
2012
＞（
1
2013
） 
1
2012
．…（14分）
点评：本题考查了函数的单调性，考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，题目难度中等，在证明不等式时，注意采用什么形式，选择一种合适的写法．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是（　　）
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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