Question

（本小题满分12分）

已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.

（1）求证: 为奇函数;

（2）求证: 在上为单调递增函数;

（3）设,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）因为有，

令，得，所以，                       ……1分

令可得：

所以，所以为奇函数.                                 ……4分

（2）是定义在上的奇函数,由题意

则，

是在上为单调递增函数;                                      ……8分

（3）因为在上为单调递增函数，

所以在上的最大值为，                                ……9分

所以要使<,对所有恒成立，

只要>1,即>0，                                    ……10分

令

.                                              ……12分

考点：本小题主要考查有关抽象函数的奇偶性、单调性和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题和灵活转化的能力.

点评：解决抽象函数问题常用的方法是“赋值法”，而要考查抽象函数的性质，还要借助图象,数形结合来解决.对于恒成立问题，要转为为求最值来解决，而（３）中将函数转化为关于的函数，是这道题解题的亮点所在．