Question

已知函数，在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，当且仅当x＞4时，．

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若函数与函数f(x)、g(x)的图象共有3个交点，求m的取值范围．

Answer 1

（I）f(x)＝ x³－x²－6x－11 

       （II）m的取值范围是(－21，－)∪(1，5)∪(5,＋∞) 

解析:

（I）f(x)＝3x²＋2ax＋b，由题意，－1，2是方程f’(x)＝0的两根．

∴                                            4分

∴f(x1)＝x³－x²－6x＋0

令h(x)＝f(x)－g(x)＝ x³－x²－2x＋c－5

h’(x)＝3x²－5x－2＝(3x＋1) (x－2)

当x＞4时，h’(x)＞0，h(x)是增函数，∴h(4)＝11＋c＝0    ∴c＝－11         7分

∴f(x)＝ x³－x²－6x－11                                              8分

（Ⅱ）g(x)＝(x－2)²＋1    当x＝2时，g(x)_min＝1

  f(x)_极大值＝f(－1)＝－   f(x)_极小值＝f(2)＝－2l                         11分

作出函数f(x)、g(x)的草图，由图可得，当函数y＝m与函数f(x)、g(x)的图象共有3个交点，

m的取值范围是(－21，－)∪(1，5)∪(5,＋∞)                   15分