题目内容
已知函数f(x)=ax-lnx,,它们的定义域都是(0,e],其中e≈2.718,a∈R( I)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
( II)当a=1时,对任意x1,x2∈(0,e],求证:
( III)令h(x)=f(x)-g(x)•x,问是否存在实数a使得h(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
【答案】分析:( I)当a=1时,代入函数f(x)的解析式,求出其导数,利用导数求出它的单调区间,
( II)当a=1时,对任意x1,x2∈(0,e],要证明成立,只需要求出函数f(x)的最小值,与函数的最大值,用函数f(x)的最小值减去函数的最大值令它们的差与比较即可,
( III)求得h(x)的解析式,对其求导,根据实数a的取值范围研究函数的单调性,求出它的最小值,令其为3,解此方程求a的可能取值即可,若能求出,则说明存在,否则说明不存在.
解答:解:( I) 当a=1时,f(x)=x-lnx,x∈(0,e]
∴
令f'(x)>0∴1<x<e令f'(x)<0∴0<x<1
∴f(x)的单调增区间为(1,e),减区间为(0,1)
( II)由( I)知f(x)在(0,e]的最小值为f(1)=1
又g'(x)≥0在区间(0,e]上成立
∴g(x)在(0,e]单调递增,故g(x)在区间(0,e]上有最大值
要证对任意x1,x2∈(0,e],
即证
即证,即证e>2.7
故命题成立
( III)h(x)=f(x)-g(x)•x=ax-2lnx,x∈(0,e]
∴
(1)当a=0时,h'(x)<0,∴h(x)在(0,e]单调递减,
故h(x)的最小值为h(e)=-2,舍去
(2)当a>0时,由h'(x)<0,得
①当时,,
∴h(x)在(0,e]单调递减,故h(x)的最小值为h(e)=ae-2=3,
∴,舍去
②当时,,
∴h(x)在单调递减,在单调递增,
故h(x)的最小值为,,满足要求
(3)当a<0时,h'(x)<0在(0,e]上成立,
∴h(x)在(0,e]单调递减,故h(x)的最小值为h(e)=ae-2=3∴,舍去
综合上述,满足要求的实数
点评:本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值,求解此类问题的关键是求出其导数,利用导数研究清楚函数的单调性确定出函数的最值在那里取到,然后计算出其最值,求解本题正确转化很关键,如第二小题中将问题转化为最小值与最大值的差大于,第三问中令最小值等于3建立方程求参数的值,转化化归是数学中的一个重要数学思想,在高中数学解题中经常用到,要注意此思想在本题中应用方法与规律,作为以后解题的借鉴.本题中也用到了分类讨论的思想,由此本题思维含量大,运算量大,解题难度较大,求解时要认真严谨,莫因马虎致错.
( II)当a=1时,对任意x1,x2∈(0,e],要证明成立,只需要求出函数f(x)的最小值,与函数的最大值,用函数f(x)的最小值减去函数的最大值令它们的差与比较即可,
( III)求得h(x)的解析式,对其求导,根据实数a的取值范围研究函数的单调性,求出它的最小值,令其为3,解此方程求a的可能取值即可,若能求出,则说明存在,否则说明不存在.
解答:解:( I) 当a=1时,f(x)=x-lnx,x∈(0,e]
∴
令f'(x)>0∴1<x<e令f'(x)<0∴0<x<1
∴f(x)的单调增区间为(1,e),减区间为(0,1)
( II)由( I)知f(x)在(0,e]的最小值为f(1)=1
又g'(x)≥0在区间(0,e]上成立
∴g(x)在(0,e]单调递增,故g(x)在区间(0,e]上有最大值
要证对任意x1,x2∈(0,e],
即证
即证,即证e>2.7
故命题成立
( III)h(x)=f(x)-g(x)•x=ax-2lnx,x∈(0,e]
∴
(1)当a=0时,h'(x)<0,∴h(x)在(0,e]单调递减,
故h(x)的最小值为h(e)=-2,舍去
(2)当a>0时,由h'(x)<0,得
①当时,,
∴h(x)在(0,e]单调递减,故h(x)的最小值为h(e)=ae-2=3,
∴,舍去
②当时,,
∴h(x)在单调递减,在单调递增,
故h(x)的最小值为,,满足要求
(3)当a<0时,h'(x)<0在(0,e]上成立,
∴h(x)在(0,e]单调递减,故h(x)的最小值为h(e)=ae-2=3∴,舍去
综合上述,满足要求的实数
点评:本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值,求解此类问题的关键是求出其导数,利用导数研究清楚函数的单调性确定出函数的最值在那里取到,然后计算出其最值,求解本题正确转化很关键,如第二小题中将问题转化为最小值与最大值的差大于,第三问中令最小值等于3建立方程求参数的值,转化化归是数学中的一个重要数学思想,在高中数学解题中经常用到,要注意此思想在本题中应用方法与规律,作为以后解题的借鉴.本题中也用到了分类讨论的思想,由此本题思维含量大,运算量大,解题难度较大,求解时要认真严谨,莫因马虎致错.
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