Question

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是右准线上任意一点，过F₂作直线PF₂的垂线F₂Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得，解出即可；
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y），Q（x₁，y₁），由PF₂⊥F₂Q，可得，利用斜率计算公式可得k_PQ•k_OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），点H（x，y），由点M，N在椭圆上可得，．
设，则，可得（3-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-3，y₂-3），（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），即可证明6x+9y为定值．
解答：解：（1）由题意可得，解得，c=1，
所以椭圆E：．
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，
设P（3，y），Q（x₁，y₁），
因为PF₂⊥F₂Q，所以，
所以-y₁y=2（x₁-1）
又因为且代入化简得．
即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），点H（x，y），
则，．
设，则，
∴（3-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-3，y₂-3），（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y）
整理得，，
∴从而，
由于，，∴我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3．
∴，
所以点H恒在直线2x+3y-2=0上．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量运算、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．