题目内容

(本小题满分12分)

已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2,点,点F2在线段PF1的中垂线上。

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的倾斜角互补,求证:直线过定点,并求该定点的坐标。

 

【答案】

(1)(2)由

由已知直线F2M与F2N的倾斜角互补,

整理得直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0)

【解析】

试题分析:(1)由椭圆C的离心率

,其中

椭圆C的左、右焦点分别为

又点F2在线段PF1的中垂线上

解得

  

(2)由题意,知直线MN存在斜率,其方程为

消去

  

由已知直线F2M与F2N的倾斜角互补,

化简,得    

整理得

 直线MN的方程为,  

因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0)  

考点:椭圆方程性质及直线与椭圆相交问题

点评:直线与椭圆相交问题常用的思路:直线方程与椭圆方程联立,整理为x的二次方程,利用根与系数的关系,将所求问题转化到两根来表示

 

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