Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1

2

n2+

11

2

n．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞

k

57

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值；
（Ⅲ）设f（n）=

an(n=2l-1 ， l∈N*) bn(n=2l ，l∈N*)

，是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用S_n=

1

2

n2+

11

2

n，再写一式，两式相减，可求数列{a_n}的通项公式，确定{b_n}是等差数列，利用b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153，建立方程组，可求数列{b_n}的通项公式；
（II）利用裂项法求和，确定T_n单调递增，即可得到结论；
（III）确定函数解析式，分类讨论，利用得f（m+15）=5f（m），即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=6；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5．
而a₁=6满足上式，∴a_n=n+5（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
∴{b_n}是等差数列．设公差为d．
又b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153
∴

b1+2d=11 9b1+36d=153

，解得b₁=5，d=3．
∴b_n=3n+2
（Ⅱ）cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

n

2n+1

∴T_n+1-T_n=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0
∴T_n单调递增，∴(Tn)min=T1=

1

3

．
令

1

3

＞

k

57

，得k＜19，∴k_max=18．
（Ⅲ）f(n)=

an(n=2l-1 ， l∈N*) bn(n=2l ，l∈N*)

（1）当m为奇数时，m+15为偶数，∴3m+47=5m+25，m=11．
（2）当m为偶数时，m+15为奇数，∴m+20=15m+10，m=

5

7

∉N*（舍去）．
综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．