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设函数
,
.
(1)当
时,函数
取得极值,求
的值;
(2)当
时,求函数
在区间[1,2]上的最大值;
(3)当
时,关于
的方程
有唯一实数解,求实数
的值.
试题答案
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(1)
;(2)
时,
取最大值
;(3)
.
试题分析:(1)先求出
,因为当
时,函数
取得极值,所以
,从而求出
;(2)根据
判断函数
在区间[1,2]上的单调性,从而判断出最大值点,求出最大值;(3)由题意可知,方程
有唯一实数解,所以
有唯一实数解,设
,则函数
图像与
轴有且只有一个交点,根据导数判断函数的单调性,可知函数存在极小值即为最小值,最小值为
,从中求出
.
试题解析:
(1)
的定义域为
,所以
.因为当
时,函数
取得极值,所以
,所以
.经检验,
符合题意.
(2)
,令
得
,
因为
,所以
,即
在[1,2]上单调递增,
所以
时,
取最大值
.
(3)因为方程
有唯一实数解,
所以
有唯一实数解,
设
,则
,
令
,因为
,
,
所以
(舍去),
,
当
时,
,
在
上单调递减,
当
时,
,
在
上单调递增,
所以当
时,
取最小值
,则
即
,
所以
,因为
,所以
(*),设函数
,
因为当
时,
是增函数,所以
至多有一解.
因为
,所以方程(*)的解为
,
即
,解得
.
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如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线
排水管,在路南侧沿直线
排水管(假设水管与公路的南,北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线),现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将
与
接通.已知AB = 60m,BC = 60
m,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元,设EF与AB所成角为
.矩形区域内的排管费用为W.
(1)求W关于
的函数关系式;
(2)求W的最小值及相应的角
.
已知函数
(其中
是实数).
(Ⅰ)求
的单调区间;
(Ⅱ)若
,且
有两个极值点
,求
的取值范围.
(其中
是自然对数的底数)
已知函数
,点
为一定点,直线
分别与函数
的图象和
轴交于点
,
,记
的面积为
.
(1)当
时,求函数
的单调区间;
(2)当
时, 若
,使得
, 求实数
的取值范围.
已知函数
.
(I)求函数
的单调递减区间;
(II)若
在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(III)过点
作函数
图像的切线,求切线方程
设函数
,
.
(1)当
时,函数
在
处有极小值,求函数
的单调递增区间;
(2)若函数
和
有相同的极大值,且函数
在区间
上的最大值为
,求实数
的值(其中
是自然对数的底数).
设函数
,其中
.
(1)若
,求
在
的最小值;
(2)如果
在定义域内既有极大值又有极小值,求实数
的取值范围;
(3)是否存在最小的正整数
,使得当
时,不等式
恒成立.
已知函数
(
为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数
的单调区间;
(Ⅱ)当
时,若
对任意的
恒成立,求实数
的值;
(Ⅲ)求证:
.
已知点
,
是函数
图象上不同于
的一点.有如下结论:
①存在点
使得
是等腰三角形;
②存在点
使得
是锐角三角形;
③存在点
使得
是直角三角形.
其中,正确的结论的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
关 闭
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