题目内容

设集合A=[0,
1
2
),B=[
1
2
,1]
,函数f(x)=
x+
1
2
,x∈A
2(1-x),x∈B
,若x0∈A,且f[f(x0)]∈A,则
1
x0
的取值范围是
[2,4)
[2,4)
分析:先求出f(x0),然后按f(x0)∈A,f(x0)∈B两种情况进行讨论求出f[f(x0)],再根据f[f(x0)]∈A可得x0的范围,进而求得
1
x0
的取值范围.
解答:解:∵x0∈A,∴f(x0)=x0+
1
2

(1)当x0+
1
2
∈A
,即-
1
2
≤x0<0时,f[f(x0)]=f(x0+
1
2
)=x0+1,
又f[f(x0)]∈A,所以0≤x0+1<
1
2
,解得-1≤x0<-
1
2
,此时无解;
(2)当x0+
1
2
∈B,即0≤x0
1
2
时,f[f(x0)]=f(x0+
1
2
)=2[1-(x0+
1
2
)]=1-2x0
又f[f(x0)]∈A,所以0≤1-2x0
1
2
,解得
1
4
x0
1
2

又x0∈A,∴
1
4
x0
1
2

故2<
1
x0
<4,
故答案为:(2,4).
点评:本题考查分段函数的求值,考查分类讨论思想,考查学生的运算能力,属中档题.
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