Question

设f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且对属于［－1，1］的任意实数a、b，当a+b≠0时，都有＞0.

(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小；

(2)解不等式f(x－)＜f(x－)；

(3)如果g(x)=f(x－c)和h(x)=f(x－c²)这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围.

Answer 1

解：(1)任取x₁、x₂∈［－1，1］且设x₁＜x₂，由奇函数的定义和题设不等式，得

f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)+f(－x₁)=·(x₂－x₁)＞0.

∴f(x)在［－1，1］上是增函数.

∵a、b∈［－1，1］且a＞b，∴f(a)＞f(b).

(2)∵f(x)是［－1，1］上的增函数，

∴不等式f(x－)＜f(x－)等价于不等式组

∴原不等式的解集为{x|－≤x≤}.

(3)设函数g(x)、h(x)的定义域分别是P和Q，则P={x|－1≤x－c≤1}={x|c－1≤x≤c+1}，Q={x|－1≤x－c²≤1}={x|c²－1≤x≤c²+1}.

若P∩Q=,那么c+1＜c²－1或c²+1＜c－1.

解得c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，+∞).