题目内容
【题目】双曲线经过点
,两条渐近线的夹角为
,直线
交双曲线于
、
.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过原点,
为双曲线上异于
、
的一点,且直线
、
的斜率为
、
,证明:
为定值;
(3)若过双曲线的右焦点
,是否存在
轴上的点
,使得直线
绕点
无论怎样转动,都有
成立?若存在,求出
的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在,.
【解析】
(1)根据双曲线所过的点和渐近线的夹角可得关于的方程组,解该方程组后可得双曲线的标准方程.
(2)设,
,
,用三点的坐标表示
,再利用点满足的方程化简前者可得所求的定值.
(3)设直线为
,
,
,根据
可得恒等式
,联立直线方程和双曲线方程后利用韦达定理化简前者可得
,从而得到所求的定点.
(1)双曲线的渐近线方程为,
因为两条渐近线的夹角为,故渐近线
的倾斜角为
或
,
所以或
.
又,故
或
(无解),故
,
所以双曲线.
(2)设,
,
,
故,
,所以
,
因为,所以
即
,
所以为定值
.
(3)双曲线的右焦点为,
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为:
,设
,
,
因为,所以
,
整理得到①,
由可以得到
,
因为直线与双曲线有两个不同的交点,
故且
,
所以.
由题设有①对任意的总成立,
因,
所以①可转化为,
整理得到对任意的
总成立,
故,故
即所求的定点
的坐标为
.
当直线的斜率不存在时,则
,此时
或
,
此时.
综上,定点的坐标为
.
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