题目内容
若等式sinx+siny=sin(x+y)成立,则必有( )
A、x∈R,y∈R | B、x=y=nπ,(n∈Z) | C、x=-y | D、x,y,x+y中,至少有一个为2nπ(n∈Z) |
分析:先利用两角和公式对sin(y+x)展开,整理求得siny(1-cosx)+sinx(1-cosy)=0,进而可判断x,y,x+y中,至少有一个为2nπ(n∈Z).
解答:解:解法一:根据已知:sin(y+x)=sinycosx+cosysinx=siny+sinx
化简得:siny(1-cosx)+sinx(1-cosy)=0
即2sin
cos
×2sin 2
+2sin
cos
×2sin 2
=0
即4sin
sin
×(cos
×sin
+cos
×sin
)=0
即4sin
sin
sin
=0
上式成立,所以必有
,
,
中至少有一个为nπ(n∈Z)
即x,y,x+y中,至少有一个为2nπ(n∈Z)
故选D
解法二:排除法:ABC很容易找到反例
化简得:siny(1-cosx)+sinx(1-cosy)=0
即2sin
y |
2 |
y |
2 |
x |
2 |
x |
2 |
x |
2 |
y |
2 |
即4sin
x |
2 |
y |
2 |
y |
2 |
x |
2 |
x |
2 |
y |
2 |
即4sin
x |
2 |
y |
2 |
x+y |
2 |
上式成立,所以必有
x |
2 |
y |
2 |
x+y |
2 |
即x,y,x+y中,至少有一个为2nπ(n∈Z)
故选D
解法二:排除法:ABC很容易找到反例
点评:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用.考查了学生演绎推理和创造性能力.
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