Question

本小题满分12分)

已知函数f (x)=x³+ ax²－bx  (a, b∈R) .

(1)若y=f (x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y=f (x)的极大值；

(2)若y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，求a + b的最小值.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)∵f ′(x)=x²+2ax－b ,

∴ 由题意可知：f ′(1)=－4且f (1)= －,

∴ 解得：…………………………2分

∴ f (x)=x³－x²－3x。

f ′(x)=x²－2x－3=（x+1）（x－3）.

令f ′(x)= 0，得x₁=－1，x₂=3，……………3分

    由此可知：

x	(－∞,－1)	－1	(－1, 3)	3	(3, +∞)
f ’(x)	+	0	－	0	+
f (x)	↗	f (x)极大5/3	↘	f (x) 极小	↗

∴ 当x=－1时, f (x)取极大值.  …………………………6分

(2) ∵y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，

∴f ′(x)=x²+2ax－b≤0在区间[－1，2]上恒成立.

根据二次函数图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即：

也即…………………9分

作出不等式组表示的平面区域如图：

当直线z=a+b经过交点P(－, 2)时，

z=a+b取得最小值z=－+2=,

∴z=a+b取得最小值为……………………12分

 

【解析】略