Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[

1

e

，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的导函数，研究出原函数在[1，3]上的单调性即可求出函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立转化为a≤2lnx+x+

3

x

成立，设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，利用导函数求出h（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值即可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）在[1，3]上单调递增．
又f（1）=ln1=0，
所以函数f（x）在[1，3]上的最小值为0．（6分）
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

．
若存在x∈[

1

e

，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+

3

x

的最大值．
设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，则h′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．
当x∈[

1

e

，1)时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
由h(

1

e

)=-2+

1

e

+3e，h(e)=2+e+

3

e

，h(

1

e

)-h(e)=2e-

2

e

-4＞0，
可得h(

1

e

)＞h(e)．
所以，当x∈[

1

e

，e]时，h（x）的最大值为h（

1

e

）=-2+

1

e

+3e，
故a≤-2+

1

e

+3e（13分）

点评：本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题．当a≥h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最大值；当a≤h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最小值．