题目内容
在四棱锥P-ABCD中PD⊥底面ABCD,底面为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.
分析:(1)要证:EF⊥CD,先证DC⊥AP,再证EF‖AP即可证明EF⊥CD.
(2)如图,取BD的中点H,连接FH,要证GF⊥平面PCB,只需证明GF⊥BC.GF⊥PB即可.
(2)如图,取BD的中点H,连接FH,要证GF⊥平面PCB,只需证明GF⊥BC.GF⊥PB即可.
解答:
证明(1)∵PD⊥DC,DC⊥AD,AD∩PD=D,
∴DC⊥平面PAD,
∵AP∈平面ABCD,∴DC⊥AP,
∵E、F分别是PB和AB的中点,EF是三角形PAB的中位线,EF‖AP,
∴EF⊥CD.
(2)取BD的中点H,连接FH,则FH是三角形PBD的中位线,
EF‖PD,PD⊥平面ABCD,EF⊥平面ABCD,
过H作GM平行AB,交AD于G,交BC于M,连接GF,GH⊥AD,
根据三垂线定理,GF⊥AD,AD‖BC,故GF⊥BC,
设AB=1个单位,PG=BG=
,三角形PGB是等腰三角形,F是PB的中点,GF⊥PB,PB∩BC=B,
∴GF⊥平面PBC,即取AD的中点G,则GF⊥平面PBC.

∴DC⊥平面PAD,
∵AP∈平面ABCD,∴DC⊥AP,
∵E、F分别是PB和AB的中点,EF是三角形PAB的中位线,EF‖AP,
∴EF⊥CD.
(2)取BD的中点H,连接FH,则FH是三角形PBD的中位线,
EF‖PD,PD⊥平面ABCD,EF⊥平面ABCD,
过H作GM平行AB,交AD于G,交BC于M,连接GF,GH⊥AD,
根据三垂线定理,GF⊥AD,AD‖BC,故GF⊥BC,
设AB=1个单位,PG=BG=
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∴GF⊥平面PBC,即取AD的中点G,则GF⊥平面PBC.
点评:本题考查学生的空间想象能力,以及对线面关系的考查,是难题.

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