Question

【题目】“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100 米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．

（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；
（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2﹣2ABACcosA=BC2，

所以x2+y2﹣2xycos120°=30000，

即x2+y2+xy=30000，

又因为x＞0，y＞0，所以

（2）解：要使所用的新型材料总长度最短只需x+y的最小，

由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2﹣30000=xy，

因为 ，所以 ，

则（x+y）2≤40000，即x+y≤200，

当且仅当x=y=100时，上式不等式成立．

故当AB，AC边长均为100米时，所用材料长度最短为200米

【解析】（1）根据题意，由余弦定理可得x2+y2﹣2xycos120°=30000，变形可得x2+y2+xy=30000，分析x、y的取值范围即可得答案；（2）由（1）可得x2+y2+xy=30000，对其变形可得（x+y）2﹣30000=xy，结合基本不等式可得 ，解可得x+y≤200，分析可得答案．
【考点精析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”；余弦定理:;;才能正确解答此题．