Question

(本小题满分14分)
已知圆方程为：.
（Ⅰ）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;
（Ⅱ）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

Answer 1

（Ⅰ）或；                
（Ⅱ）点的轨迹方程是，轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点.  

(I)先讨论直线不存在时，是否符合题意.
然后再设直线斜率存在时的方程为,再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式,建立关于k的方程，求解即可.
(II)本小题属于相关点求轨迹方程.设点的坐标为（），点坐标为
则点坐标是，再根据，得到，
然后利用点M在圆上，可得到动点Q的轨迹方程，再通过方程判断轨迹是什么曲线.
解：（Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标和，其距离为. 满足题意  ………  1分
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即     
设圆心到此直线的距离为，则，得  …………3分       
∴，，                                    
故所求直线方程为                               
综上所述，所求直线为或  …………7分                  
（Ⅱ）设点的坐标为（），点坐标为
则点坐标是                      …………9分
∵，
∴ 即，   …………11分          
又∵，∴                     
∴点的轨迹方程是，              …………13分     
轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点.   …………14分