Question

判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;

(2)f(x)=(x-1)·;

(3)f(x)=;

(4)f(x)=

Answer 1

剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断.

解:(1)函数的定义域x∈(-∞,+∞),对称于原点.

    ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),

    ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.

    (2)先确定函数的定义域.由≥0,得?-1≤x＜1,其定义域不对称于原点，

    所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

    (3)去掉绝对值符号，根据定义判断.

    由

    得

    故f(x)的定义域为［-1，0］∪(0，1)，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f(x)=，这时有f(-x)==-f(x),故f(x)为奇函数.

    (4)∵函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当x＞0时，-x＜0,

    ∴f(-x)=(-x)［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x)(x＞0).当x＜0时，-x＞0,

    ∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x＜0).

    故函数f(x)为奇函数.

讲评:(1)分段函数的奇偶性应分段证明.

    (2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.