题目内容
为了加快经济的发展，某省选择
两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在两城市的周边修建城际轻轨，假设
为一个单位距离，两城市相距
个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为
，使轻轨上的点到两城市的距离之和为
个单位距离，
（1）建立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线的方程；
（2）若要在曲线上建一个加油站
与一个收费站
，使
三点在一条直线上，并且
个单位距离，求
之间的距离有多少个单位距离？
（3）在两城市之间有一条与
所在直线成
的笔直公路
，直线与曲线交于
两点，求四边形
的面积的最大值.
【答案】
（1）
（2）8（3）
【解析】(1)根据题目条件选取适当的坐标系，本小题应该以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，这样得到的轨迹方程是标准方程，有利于下一步的计算.
（2）由椭圆的定义可知|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8.
(3)先求出四边形
的面积的表达式，设直线方程为y=x+t,然后与椭圆方程联立，消x后得到关于y的一元二次方程，借助韦达定理，根据
,
求出面积关于t的函数表达式，利用函数的方法求最值即可.
解：(1)以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系，设曲线E上点
，
∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8
∴动点轨迹为椭圆，且a=5,c=4,从面b=3.
∴曲线E的方程为
4分
(2)由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8 8分
(3)将
代入
，得
设
所以当t=0时，面积最大是，此时直线为l:y=x 13分
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个单位距离，城际快速通道所在的曲线为E，使快速通道E上的点到两区的距离之和为4个单位距离.
的笔直公路l与曲线E交于P，Q两点，同时在曲线E上建一个加油站M（横坐标为负值）满足
,求
面积的最大值．