Question

已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=ln（x²-2x+2），
（1）当x＜0时，求f（x）解析式；
（2）写出f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）x＜0时，-x＞0，代入已知x≥0时，f（x）=ln（x²-2x+2），可得f（-x）=ln（x²+2x+2），根据偶函数的性质可求得f（x）=ln（x²+2x+2）
（2）根据复合函数的单调性及二次函数的单调性分别求解两段函数的单调增区间即可

解答：解：（1）x＜0时，-x＞0
∵x≥0时f（x）=ln（x²-2x+2）
∴f（-x）=ln（x²+2x+2）（2分）
∵y=f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）（4分）
x＜0时，f（x）=ln（x²+2x+2）（6分）
∴f(x)=

ln(x2- 2x+2)，x≥0 ln(x2+2x+2)，x＜0

（8分）
（2）由（1）知x＜0时，f（x）=ln（x²+2x+2），根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（-1，0）
x≥0时f（x）=ln（x²-2x+2），根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（1，+∞）
所以函数的单调增区间为：（-1，0），（1，+∞）

点评：本题主要考查了利用偶函数的对称性求解函数的解析式，复合函数的单调区间的求解，（2）中对每段函数求解单调区间时要注意函数的定义域．