Question

已知函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]，设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R”。
（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真，求实数a的取值范围；
（3）问：p是q的什么条件？请说明理由。

Answer 1

解：（1）命题p为真，即f（x）的定义域为R，
等价于（a²-1）x²+（a+1）x+1>0恒成立，
等价于a=-1或解得a≤-1或
∴实数a的取值范围为（-∞，-1]∪。
（2）命题q为真，即f（x）的值域是R，
等价于u=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域（0，+∞），
等价于a=1或
解得
∴实数a的取值范围为。
（3）由（1）（2）知，p：
q：
而
∴p是q的必要而不充分的条件。