Question

某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，得到如下数据：

序      号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高x（厘米）	192	164	172	177	176	159	171	166	182	166
脚长y（ 码 ）	48	38	40	43	44	37	40	39	46	39
序      号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
身高x（厘米）	169	178	167	174	168	179	165	170	162	170
脚长y（ 码 ）	43	41	40	43	40	44	38	42	39	41

（Ⅰ）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”．请根据上表数据完成下面的2×2联黑框列表：

	高  个	非高个	合  计
大  脚
非大脚		12
合  计			20

（Ⅱ） 若按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差：将一个标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号．试求：
①抽到12号的概率；②抽到“无效序号（超过20号）”的概率．
（Ⅲ） 根据题（1）中表格的数据，若按99.5%的可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系？（可用数据48²=2304、58²=3364、68²=4624、6×14×7×13=7644、5×1×2×12=120）

Answer 1

分析：（I）根据高个和大脚的描述，统计出大脚，高个，非大脚和非高个的数据，填入列联表，再在合计的部分填表．
（II） 先计算出投掷两次出现情况的总数，再分别计算出抽到12号的情况数及抽到“无效序号（超过20号）”的情况数结合概率的计算公式即可求得：①抽到12号的概率；②抽到“无效序号（超过20号）”的概率．
（III）提出假设，代入公式做出观测值，把所得的观测值同表格中的临界值进行比较，得到Χ²＞7.879的概率约为0.005，而8.802＞7.879，我们有99.5%的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系．

解答：解：（Ⅰ）表格为：

	高  个	非高个	合  计
大  脚	5	2	7
非大脚	1		13
合  计	6	14

（Ⅱ） ①抽到12号的概率为P1=

4

36

=

1

9

…（6分）
②抽到“无效序号（超过20号）”的概率为P2=

6

36

=

1

6

…（9分）
（Ⅲ） 提出假设H₀：人的脚的大小与身高之间没有关系．…（10分）
根据上述列联表可以求得K2=

20×(5×12-1×2)2

6×14×7×13

≈8.802．…（12分）
当H₀成立时，K²＞7.879的概率约为0.005，而这里8.802＞7.879，
所以我们有99.5%的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系．…（14分）

点评：本题考查独立性检验，包括数据的统计，是一个基础题，本题在个别省份作为高考题目出现过，要引起同学们注意．