Question

1．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，c=2$\sqrt{3}$，sinA=2sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和值域，求得f（x）的最小正周期和最大值．
（2）由f（C）=1，求得C=$\frac{π}{3}$，再利用正弦定理、余弦定理求得a、b的值，可得△ABC的面积$\frac{1}{2}$ab•sinC的值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$）=sin2x•cos$\frac{π}{6}$+cos2x•sin$\frac{π}{6}$+cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，最大值为2．
（2）△ABC中，由f（C）=2sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，可得 sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，求得C=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，∴a=4sinA，b=4sinB．
再根据sinA=2sinB，可得a=2b．
再由余弦定理可得c²=12=（2b）²+b²-2•2b•b•cosC=5b²-2b²，求得b=2，∴a=2b=4，
△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$×4×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和值域，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．