Question

已知直线l：x-

3

y+4=0，一个圆的圆心E在x轴正半轴
上，且该圆与直线l和直线x=-2轴均相切．
（Ⅰ）求圆E的方程；
（Ⅱ）设P（1，1），过P作圆E的两条互相垂直的弦AB、CD，求AC中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线l：x-

3

y+4=0，一个圆的圆心E在x轴正半轴，设出圆心c（a，0），a＞0，根据半径r的几何关系进行判断，从而求出半径r，从而圆E的方程；
（Ⅱ）设M（x，y），已知P（1，1），过P作圆E的两条互相垂直的弦AB、CD，根据勾股定理进行求解，从而求AC中点M的轨迹方程．

解答：解：（1）设圆心c（a，0），a＞0，半径为r，
∵该圆与直线l和直线x=-2轴均相切，
则

a+2=r a+4 2 =r

⇒

a=0 r=2

，所求圆的方程为．x2+y2=4；
(2)设M(x，y)，由

|OM|2+|MC|2=|OC|2 |MC|=|MP|

得|OM|2+|MP|2=|OC|2
即x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4，整理得x²+y²-x-y-1=0即为所求轨迹方程．

点评：此题主要考查椭圆的方程以及切线的方程，利用几何关系找出半径的关系，是一道中档题；