Question

【题目】如图在三棱柱中，为边的中点，.

（1）证明：平面；

（2）若，为中点且，，，求平面与平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用三角形中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得平面；

（2）证明出平面，由此可得出、、两两垂直，然后以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成二面角的余弦值.

（1）在三棱柱中，侧面为平行四边形，

由，可知为的中点，又因为为边的中点，所以，

平面，平面，所以平面；

（2）因为，，，所以，所以，

取中点，则，，

因为，，所以，

又，所以满足，，

，所以平面，即、、两两相互垂直，

以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图示），

所以、、、，，

所以，，

设平面的法向量为，

则有，即，取，则，，所以，

因为平面，所以平面的法向量可以取为，

，

所以平面与平面所成的二面角的余弦值为.