Question

设A，B分别为椭圆的左、右顶点，C，D分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD 的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设Q为椭圆上异于A、B的点，求证：直线QA与直线QB的斜率之积为定值；
（3）设P为直线上不同于点（，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．

Answer 1

解：（1）依题意得，a=2c，，∴，∴椭圆的方程为
（2）设Q（x，y），∵A（-2，0），B（2，0），∴
∴，故得证．
（3）由（1）得 A（-2，0），B（2，0），，设M（x₀，y₀）
∵M在椭圆上，∴又点M异于顶点A，B，∴-2＜x₀＜2，由P，A，M三点共线可以得，∴
，从而有
∵-2＜x₀＜2，∴∴∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内．
分析：（1）依题意寻找a，b，c，从而可求椭圆的方程；（2）先求直线QA与直线QB的斜率，利用椭圆的方程可得证；（3）要证点B在以MN为直径的圆内，只需证∠MBN为钝角，从而∠MBP为锐角，故即证．
点评：本题主要考查椭圆标准方程的求解，考查椭圆方程的运用，考查等价转化的数学思想．