题目内容

（2n+1）2•2-2n-1÷4n=
 
；2|log
1
2
0.3|-1=
 
；log0.25
58
=
 
．
分析：利用有理指数幂的运算化简（2n+1）2•2-2n-1÷4n，用对数性质化简后两个代数式．
解答：解：（2n+1）2•2-2n-1÷4n=22n+2-2n-1-2n=21-2n
2|log
1
2
0.3|-1=2
log
10
3
2
-1=2
log
5
3
2
=
5
3
；
log0.25
58
=
log
2
3
5
2-2
=-
3
10

故答案为：21-2n，
5
3
，-
3
10
.
点评：本题考查有理指数幂的运算性质，对数的运算性质，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
13、已知数列{an}的通项公式为an=（2n-1）•2n，我们用错位相减法求其前n项和Sn：由Sn=1×2+3×22+5×23+…（2n-1）•2n得2Sn=1×22+3×23+5×24+…（2n-1）•2n+1，两式项减得：-Sn=2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n-1）•2n+1，求得Sn=（2n-3）•2n+1+6．类比推广以上方法，若数列{bn}的通项公式为bn=n2•2n，
则其前n项和Tn=
（n2-2n+3）•2n+1-6
．
在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，有如下方法：
先改写第k项：k（k+1）=
1
3
[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（K+1）]，
由此得：1×2=
1
3
（1×2×3-0×1×2），
2×3=
1
3
（2×3×4-1×2×3），…，
n（n+1）=
1
3
[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
相加得：1×2+2×3+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）．
类比上述方法，请你计算“1×3+2×4+…+n（n+2）”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为：
1
6
n（n+1）（2n+7）
1
6
n（n+1）（2n+7）
．
（Ⅰ）求证：
C
m
n
=
n
m
C
m-1
n-1
；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
(1+x)[1-(1+x)n]
1-(1+x)
=
(1+x)n+1-(1+x)
x
；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．
对于n∈N+的命题，下面四个判断：
①若f（n）=1+2+22+…+2n，则f（1）=1；
②若f（n）=1+2+22+…+2n-1，则f（1）=1+2；
③若f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n+1
，则f（1）=1+
1
2
+
1
3
；
④若f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
，则f(k+1)=f(k)+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
1
k+1
；
其中正确命题的序号为
③④
③④
．

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