题目内容

如图,在△ABC中,点M为BC的中点,A、B、C三点坐标分别为(2,-2)、(5,2)、(-3,0),点N在AC上,且
AN
=2
NC
,AM与BN的交点为P,求:
(1)点P分向量
AM
所成的比λ的值;
(2)P点坐标.
分析:由定比分点坐标公式求出M、N、P的坐标,进而求出
BP
BN
 的坐标,由
BP
BN
 共线可得有
-3-4λ
1+λ
×
-8
3
-
-4-λ
1+λ
×
-19
3
=0,解之得λ=4,从而得到点P的坐标.
解答:解:(1)∵A、B、C三点坐标分别为(2,-2)、(5,2)、(-3,0),
由于M为BC中点,可得M点的坐标为(1,1).…(2分)
AN
=2
NC
可得N点的坐标为 (-
4
3
,-
2
3
 ).  …(4分)
又由
AP
PM
可得P点的坐标为(
2+λ
1+λ
-2+λ
1+λ
 ),
从而得
BP
=(
-3-4λ
1+λ
-4-λ
1+λ
 ),
BN
=(
-19
3
-8
3
 ). 
BP
BN
 共线,故有
-3-4λ
1+λ
×
-8
3
-
-4-λ
1+λ
×
-19
3
=0,解之得λ=4.  …(8分)
∴点P的坐标为(
6
5
2
5
). …(12分)
点评:本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义,及定比分点坐标公式,本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.
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