题目内容

20、已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时、f(x)>-1;
(I)求:f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;
(II)若f(1)=1,解关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)>4.
分析:(I)根据已知条件中,:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时、f(x)>-1;令x=y=0,即可求出f(0)的值,在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,根据f(x1)=f[(x1-x2)+x2],结合已知条件,即可判断函数的单调性;
(II)若f(1)=1,则我们易将关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)>4化为f(x2+x+1)>f(3),结合(I)的结论,可将原不等式化为一个一元二次不等式,进而得到答案.
解答:解:(I)令x=y=0
∵f(x+y)=f(x)+f(y)+1,
∴f(0)=f(0)+f(0)+1
∴f(0)=-1,
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,
∵当x>0时、f(x)>-1,
∴f(x1-x2)>-1
则f(x1)=f[(x1-x2)+x2],
=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),
∴f(x)在R上是单调增函数.
(II)由f(1)=1得:f(2)=3,f(3)=5,
则关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)>4可化为
关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)+1>5,
即关于x的不等式;f(x2+x+1)>f(3),
由(I)的结论知f(x)在R上是单调增函数,
故x2+x+1>3,
解得:x<-2或x>1,
故原不等式的解集为:(-∞,-2)∪(1,+∞).
点评:本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质及一元二次不等式的解法,其中解答抽象函数时根据“已知”和“未知”使用“凑”的方法,是解答抽象函数最常用的思路.
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