题目内容

平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满足
OC
OA
OB
,其中α,β∈R,且α-2β=1.
(Ⅰ)求点C的轨迹方程;
(Ⅱ)设点C的轨迹与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求证:
1
a2
-
1
b2
为定值.
分析:(1)由向量等式,得点C的坐标,消去参数即得点C的轨迹方程;
(2)将直线与双曲线方程组成方程组,利用方程思想,求出x1x2+y1y2,再结合向量的垂直关系得到关于a,b的关系,化简即得结论.
解答:解:(Ⅰ)设C(x,y),∵
OC
OA
OB

∴(x,y)=α(1,0)+β(0,-2).
x=α
y=-2β
 &∵α-2β=1
 &∴x+y=1

即点C的轨迹方程为x+y=(15分)
(Ⅱ)由
x+y=1
x2
a2
-
y2
b2
=1
得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0
由题意得
b2-a2≠0
(2a2)2+4(b2-a2)(a2+a2b2)=4a2(b4+b2-a2)>0
(8分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),
x1+x2=-
2a2
b2-a2
x1x2=-
a2+a2b2
b2-a2
(10分)
∵以MN为直径的圆过原点,∴
OM
ON
=0
.即x1x2+y1y2=0.
∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2
=1+
2a2
b2-a2
-
2(a2+a2b2)
b2-a2
=0
.即b2-a2-2a2b2=0.
1
a2
-
1
b2
=2
为定值.(14分)
点评:本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.
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