Question

已知函数f(x)=

x

3x+1

，对于数列{a_n}有a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，且n≥2），如果a₁=1，那么a₂=

 

，a_n=

 

．

Answer 1

分析：由函数f(x)=

x

3x+1

及数列{a_n}有a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，且n≥2），我们不难由此得到数列的递推公式，再由a₁=1，代入即可求出a₂的值，并由递推公式不难得到数列的通项公式．

解答：解：∵函数f(x)=

x

3x+1

且数列{a_n}有a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，且n≥2），
∴a_n=

an-1

3an-1+1

由a₁=1，则a₂=

1

3+1

=

1

4

由_n=

an-1

3an-1+1

得
3a_n•a_n-1=a_n-1-a_n
即

1

an

-

1

an-1

=3
故数列{

1

an

}是以一个以1为首项，以3为公差的等差数列
则

1

an

=3n-2
则a_n=an=

1

3n-2

（n∈N^*）
故答案为：

1

4

，an=

1

3n-2

（n∈N^*）

点评：如果一个数列的递推公式满足ka_n•a_n-1=a_n-1-a_n，则表示数列{

1

an

}是以一个以

1

a1

为首项，以k为公差的等差数列．