Question

如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点．
（1）求这个几何体的表面积；
（2）求异面直线AF与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，变化后形成的封闭体表面比原来的圆柱表面多了两个轴截面的面积，由此不难结合已知数据计算出它的表面积．
（2）连接AF、CG、CO₂'，则可得∠CGO₂'或其补角为异面直线AF与GO₂'所成的角．然后在△CGO₂'中，计算出各边的长，利用余弦定理即可求出异面直线AF与GO₂'所成的角的余弦值，从而得出异面直线AF与GO₂'所成的角大小．
解答：解：（1）将圆柱按题中方法切开，再平移后接成封闭体后，该几何体的表面积比原来的圆柱表面积多了两个轴截面矩形的面积，
因此它的表面积为S_表=S_圆柱表+2S_BCDE=（2π×1²+2π×1×2）+2×2×2=6π+8；   …（6分）
（2）连接AF、CG、CO₂'，则AF∥CG，
所以∠CGO₂'或其补角为异面直线AF与GO₂'所成的角．…（9分）
在△CGO₂'中，GO₂'=CO₂'==，CG==，…（12分）
∵cos∠CGO₂'==，
∴∠CGO₂'=arccos，即异面直线AF与GO₂'所成的角的大小为arccos．…（14分）
点评：本题将一个圆柱体一分为二，求平移后的表面积和异面直线所成角的大小，着重考查了旋转体表面积的求法和异面直线所成角等知识，属于基础题．