Question

【题目】已知圆,点为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.

(Ⅰ)求曲线的方程；

(Ⅱ) 是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) 存在定点.

【解析】试题分析：（1）由两圆内切，圆心距等于半径差，可知动圆圆心S到O与F的距离和为定值2，取关于轴的对称点，由中位线可知，所以点的轨迹是以， 为焦点，长轴长为4的椭圆。（2）由得,得直线得与斜率和为零.设， ，直线的方程为得，代入韦达可求。

试题解析：（Ⅰ）设的中点为，切点为，连，则，取关于轴的对称点，连，故．

所以点的轨迹是以， 为焦点，长轴长为4的椭圆．

其中， 曲线方程为.

(Ⅱ)假设存在满足题意的定点，设设直线的方程为， ．由消去，得

由直线过椭圆内一点作直线故，由求根公式得：

由得,得直线得与斜率和为零.故

存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意．