Question

（12分）已知在数列中，，是其前项和，且

（I）求；(II)证明：数列是等差数列；

 (III)令，记数列的前项和为.求证：当时， 。

 

Answer 1

【答案】

（I）；(II)见解析； (III)见解析.

【解析】（1）令，代入可求出；

（2）代入整理得，所以数列是等差数列；

（3）由（1），（2）可求得，。所以。当时，；两边平方整理得。叠加得

，放缩求得，即证得结论。

（I）；

(II)由条件可得，

两边同除以，得：

所以：数列成等差数列，且首项和公差均为1

 (III)由（Ⅰ）可得：，，代入可得，所以，.

当时，

平方则

叠加得

   又

=